Tammer krooniti 1922. aastal Tallinnas tõstmise raskekaalu maailmameistriks ja kaks aastat hiljem tuli ta Pariisi olümpiamängudel samas kaalukategoorias pronksile.

Lisaks võistles ta nii 1920. kui ka 1924. aasta olümpiamängudel kuulitõukes, teenides vastavalt kuuenda ja 12. koha. Nii tõstmises kui ka kergejõustikus tuli ta paljukordseks Eesti meistriks ja püstitas mitmesuguseid rekordeid.

1920. aasta Antverpeni olümpial oli ta ka Eesti koondise lipukandja ning hiljem (1928, 1936) tegutses olümpiamängudel ka Eesti koondise ametiisikuna.

Sportlaskarjääriga paralleelselt pidas Tammer spordiajakirjaniku ametit, olles Eesti Spordilehe (1921-1928) toimetaja ja ka Eesti Päevalehe ajakirjanik (1923-1940, sealjuures 1933-1940 peatoimetaja).

Ta tegutses ka Eesti Olümpiakomitee juhatuses (1933-1940) ja kuulus Riigikokku (1937-1940).

Teise maailmasõja päevil vahistas Nõukogude võim Tammeri ja olümpiapronks suri 1942. aastal Gulagi vangilaagris.