Nei sündis 1931. aasta 31. oktoobril Tartus ning hakkas malet mängima viieaastaselt. Ta osales neljal korral Nõukogude Liidu meistrivõistluste finaalis ning võitis kolm korda Balti turniiri. 1948. aastal jagas ta Nõukogude Liidu koolinoorte meistrivõistlustel esikohta Viktor Kortšnoiga. Sama juhtus 1964. aastal Hollandis toimunud turniiril, kui esikoht läks jagamisele Nei ja legendaarse Paul Kerese vahel.

Kaheksakordne Eesti meister Nei on treenerina abistanud maailmameistreid Boriss Spasskit, Nona Gaprindašvilit ja Maia Tšiburdanidzet ning töötas üle 25 aasta Tallinna Malekooli direktorina, mille ta asutas koos Keresega. Aastail 1989-96 oli Nei Soome malekoondise treeneriks, varasemalt täitis ta sama rolli ka Nõukogude liidu koondises.

Nei vedas 16 aastat Eesti Televisiooni saadet "Malekool". 2016. aastal teenis ta Eesti Kultuurkapitali kehakultuuri ja spordi sihtkapitali elutööpreemia, 2001. aastal sai ta Eesti Punase Risti IV klassi teenetemärgi.

Eesti Rahvusringhääling avaldab kaastunnet Iivo Nei lähedastele.