Isa juhendamisel jahilaskmisega tegelema asunud Vehm kuulus aastatel 1972-1974 NSV Liidu koondisesse, kelle koosseisus krooniti 1973. aastal kaevikraja meeskondlikuks maailmameistriks. Lisaks võideti 1974. aasta Euroopa meistrivõistlustelt pronks, vahendab Laskurliit.ee.

Individuaalselt sai ta 1973. aasta EM-il kuuenda ja 1974. aasta EM-il seitsmenda koha. NSV Liidu meistrivõistlustel oli ta 1972. ja 1974. aastal teine ning 1973. aastal kolmas.

Aastatel 1966-1968 tuli Vehm kaevikrajal individuaalselt kolm korda Eesti meistriks ning teenis aastatel 1974-1997 viis Eesti individuaalset meistritiitlit ka kaarrajal.

Vehm töötas ka jahilaskmistreeneri- ja ametnikuna.

Spordiga tegeles ka Peeter Vehmi poeg Priit (1972-2021), kes kuulus jahilaskmises samuti Eesti tippude hulka ja tegeles pikamaaujumisega, olles üks kahest esimesest eestlasest, kes ujunud Soomest Eestisse (2008).