Jalgpalliliit palus ärasaatmisele minejatel pärgi mitte viia.

Piir oli Eesti meeste koondise esimene peatreener pärast iseseisvuse taastamist (1992–1993). 1996. aastal viis ta Eesti karikavõitjaks Tallinna Sadama meeskonna.

Tallinnas sündinud Piir alustas jalgpalliga 1944. aastal endise internatsionaali Ralf Veidemanni käe all Kalevi noortemeeskonnas, hiljem oli tema treener Elmar Saar. Pärast II maailmasõda jätkas Piir Tallinnas Dünamo meeskonnas, kellega võitis kaks järjestikust Eesti NSV tiitlit aastatel 1949–1950. Viis aastat hiljem võidutses ta Tallinna Kaleviga. Piir krooniti mängijana korra ENSV karikavõitjaks, teatas Eesti Jalgpalli Liit.

1949. aastal lõpetas Piir Tallinna Kehakultuuritehnikumi ja 1956. aastal Tartu Riikliku Ülikooli kehakultuuriteaduskonna. Treenerina töötas Piir aastatel 1962–1989 Tallinna Normas, võites viis korda ENSV meistritiitli ja kuus korda karika. Hiljem tegutses Tallinna jalgpallikoolis, Nõmme Kaljus, rahvaspordiklubis Kuuse ja Soome klubis Valkeakosken Koskenpojat.

Uno Piir pälvis 2004. aastal EJL-i hõbe- ja 2014. aastal kuldmärgi. EJL autasustas Piiri 2019. aastal tänuplaadiga elutöö eest.